Taller de Magia Matemática (Matemagia)

En el taller vamos a presentar una serie de juegos de magia, que pueden ser usados en clase de matemáticas de diferentes niveles. En algunos casos como mero elemento de motivación y en otras relacionándolos con contenidos concretos del currículo, como por ejemplo divisibilidad, lenguaje algebraico, ecuaciones, etc. y, sobre todo, como pequeños trabajos de investigación y de resolución de problemas.
Estos juegos los puede realizar cualquiera, aún sin saber el principio que se esconde detrás, pero son una buena excusa para tratar contenidos matemáticos en nuestras clases de una forma más amena.
Los juegos de magia, suelen tener un efecto inmediato sobre la mayoría de los alumnos, que rápidamente quieren saber “el truco”. Debemos dejar muy claro, que lo que estamos haciendo, disfrazado de magia, en realidad es, solamente y nada menos, que matemáticas. Los juegos que vamos a proponer no requieren ninguna habilidad especial, todo lo más un poco de preparación previa. Nuestros alumnos sienten una cierta debilidad por la baraja, así que siempre que sea posible, se recomienda usar versiones de los juegos que incluyan cartas.
Iremos comentando los juegos relacionándolo con algún contenido del currículo, aunque algunos de ellos puedan usarse para más de un contenido. La mayori de los juegos, no requieren de grandes explicaciones, pues el fundamento matemático lo hace evidente.

Empecemos con algunos juegos numéricos:

Divisibilidad:

1.- Magia con el 11 o el 13 o el 7

Escribe un número de tres cifras abc.
Forma un número de 6 cifras, escribiendo las tres cifras repetidas abcabc.
Divide por 13
Divide por 11
Divide por el número pensado abc.
Adivino: Has obtenido como resultado 7

Explicación: el número abcabc=abc*(1001)=abc*7*11*13


2.- Magia con el 11

Un nº de 8 cifras ( cualquier nº par de cifras)
Invierte el orden de las cifras.
Suma los dos números anteriores
Tapamos una cifra
El mago observa el resto y adivina: “el número tapado es…”

Explicación: La suma de los dos números debe ser múltiplo de 11, por tanto basta aplicar el criterio de divisibilidad por 11, para encontrar la cifra tachada.
Podemos hacer un juego similar al anterior, pero utilizando el 9:


2b.- Cifra tachada

Escribe un número de 6 cifras. (Pueden ser más).
Pr ejemplo la Fecha de Nacimiento 23041994
Cambia el orden de las cifras.
Resta los dos números anteriores.
Tacha un dígito de ese resultado (que no sea 0)
Suma el resto de los dígitos y dime el resultado.
La cifra tachada es … 9 menos (el resultado de la suma)

Explicación: El número formado es múltiplo de 9.

Hay muchos juegos relacionados con el 9, veamos 2 más basados en esa misma idea:

3.- 20 cerillas

Tenemos una cajita con 20 cerillas. Nos colocamos de espaldas a la mesa.
Un voluntario, retira un número de cerillas entre 1 y 10 y las guarda.
Cuenta las restantes y suma las dos cifras del resultado, retira ese número de cerillas y las guarda.
Ahora, retira unas cuantas más, y las pone en su puño cerrado.
Nos volvemos y “en tu mano hay ...9 – las que hay encima de la mesa


4.- 1089

· Escribe un número de tres cifras.
· Invierte el orden de sus cifras.
· Resta los dos números y toma el número obtenido.
· Invierte las cifras de ese último número
· Suma los dos últimos números
•EL RESULTADO ES 1089

Jugando con el Álgebra:

La utilización del álgebra, nos permite seguir los razonamientos de muchos juegos de magia, descubriendo todos los secretos, sin más que traducir los elementos del juego al lenguaje algebraico. Además permite a nuestros alumnos inventarse sus propios juegos de magia. Veamos un par de ejemplos.

5.- Adivinar día y mes de nacimiento, nº de hermanos y nº de calzado.

Piensa en el día de tu nacimiento x
suma 3 x+3
multiplícalo por 5 5x + 15
multiplica por 4 20x +60
resta 3 20x +57
multiplica por 5 100x+285
Suma el nº del mes de nacimiento 100x + y +285
multiplica por 10 1000x+10y+2850
suma 5 1000x+10y+2855
Suma el nº de hermanos (incluyéndote tú) 1000x+10y +z+2855
multiplica por 2 2000x+200y+2z+5710
añade un cero al final (multip. por 10) 20000x+2000y+20z+57100
suma 5 20000x+2000y+20z+57105 multiplica por 5 10000x+1000y+10z-285525 Suma el nº de calzado 100000x+10000y+100z+t+285525


solución: Nº - 285525 = -- -- / -- -- / -- / -- --
día mes herm calzado

Como se ve en la columna de la derecha, la explicación surge de manera elemental, al hacer la traducción al lenguaje del álgebra





6.- Adivinar una carta

Escoge una carta de la baraja española.
El nº de la carta multiplícalo por 2
al resultado obtenido añádele 1
multiplica por 5
si es oros suma 1
si es copas 2
si es espadas 3
si es bastos 4
Dime el resultado.

La carta elegida es 1ª cifra: el número de la carta
2º cifra :
si 6 --- oros si 7 --- copas
si 8 --- espadas si 9 --- bastos


Juegos de Cálculo:

Existen una serie de juegos de magia, donde el mago “adivina” o calcula la suma de algunos números elegidos por el espectador. Hay una serie de estos juegos que pueden hacerse con un calendario, se basan en la forma regular en que están colocados los números dentro de los meses del calendario.

7.-Magia con un calendario

En un calendario se escoge un mes y dentro de él un cuadrado 4x4.
Una vez elegido, el mago hace una predicción, que se guarda en un papel
Una persona elige un número y tacha la fila y la columna correspondiente a ese número.
Otra hace lo mismo con un número que no esté tachado, y así hasta escoger 4 números diferentes.
Hacemos la suma de los cuatro números marcados y observamos que coincide con la predicción hecha al principio.

Explicación: Antes de que empiecen a elegir los números, observamos el primer número de ese cuadro “a” (superior - izq.) y…
La suma de los 4 elegidos será 4a+48

Este mismo juego podemos hacerle creando nuestro propio cuadro de números, que sin duda tendrán un aspecto más caótico, menos ordenado que los del calendario, por ejemplo:


8.- Completando 9

Anunciamos que vamos a “adivinar” la suma de varios números de forma sorprendentemente rápida: incluso viendo el primer número podemos predecir la suma.
Pedimos a alguien que escriba u número de 4 cifras.
Hacemos nuestra predicción
un segundo espectador nombra un segundo número
Debajo de éste, elmago escribe un tercer número de cuatro cifras.
Otro espectador elige otro número
y el mago escribe debajo de él un quinto número.

Al realizar la suma de los cinco números escritos, el resultado coincide con la predicción del mago

Explicación: La predicción consiste en quitar dos unidades al número escrito en primer lugar y añadir un 2 al principio.
Ejemplo: número escrito por el espectador 3586
– predicción: 23584
Los números que elige el mago, serán los complementos de 9 del número anterior
Si el 2º número es 2458 nosotros escribiremos 6541.
Si el 4º número es 6925 nosotros 3074

3586+2458+6541+6925+3074=23584.



Dentro de las estrategias para la resolución de problemas, hay un concepto muy poco utilizado en nuestras aulas, que resuelve una gran cantidad de situaciones problemáticas: La paridad.
El concepto de paridad (un número par es aquel que tiene paridad par y un número impar es aquel que tiene paridad impar) es una idea muy simple que sirve para resolver muchos problemas, algunos realmente complicados. La simplicidad de este concepto, permite abordar muchos problemas, poniendo especial énfasis en lo esencial del razonamiento.
Veamos algunos juegos de magia, relacionados con la paridad:

Paridad

9.-CUATRO OBJETOS DE YATES
Colocamos tres palillos verdes y uno rojo en una fila, nos volvemos de espalda (Pueden ser cartas de una baraja y fijarnos en una de ellas p.e. el as de oros)
Un espectador cambiará la posición del Rojo, intercambiando su posición con uno verde que esté a su lado, tantas veces como quiera, pero debemos saber cuántas.
Iremos pidiendo que retire palillos, hasta que se quede solo con el rojo.

Explicación:
1 2 3 4R
Antes de volvernos nos fijamos en la posición del rojo (4).
Si el número de cambios es impar, el Rojo acabará en posiciones 1 o 3
•Mandamos retirar el 4 (extremo derecho).
•Pedimos un nuevo intercambio del palillo Rojo, con lo cual quedará en la posición 2 (centro)
•Mandamos retirar los dos extremos, y queda el Rojo
-Si el número de cambios es par, el Rojo acabará en las posiciones 2 o 4
•Mandamos retirar el 1 (extremo izquierdo).
•Pedimos un nuevo intercambio del palillo Rojo, con lo cual quedará en la posición 2 (centro)
•Mandamos retirar los dos extremos, y queda el Rojo


10.- Con 13 Cartas (o Fichas de dominó)

Colocamos las cartas (o las fichas de dominó) ordenadamente del 1 al 12 y a continuación la carta nº 13 que representa el 0 o la ficha Blanca doble)
Con las cartas tapadas, cortamos varias veces.
El espectador pasa de Abajo – Arriba, tantas cartas como desee, de una en una.
El mago abre una carta y ella indica el número de las que ha subido el espectador.

Explicación:
Tenemos que observar la última carta (si es un 5) y contar por arriba ese número de cartas, la carta que hace el lugar 5 nos indica cuantas cartas se han subido. Es un efecto mecánico


11.- EN BUSCA DE LA SUERTE

En este juego, un espectador, tratará de buscar el As de corazones, como carta de la buena suerte. Al final se encontrará con todos los corazones de la baraja.

La Baraja debe estar preparada de la siguiente manera:
Las cartas de corazones estarán en orden: 9 – 5 – 10 – 3 – J – 6 – Q – 2 estas cartas estarán encima del mazo (el 9 encima del todo). En la parte de debajo del mazo estarán la K, vuelta del revés, no se verá, después el 7, 4, y por último cerrando el mazo el 8.
El As estará perdido por el centro de la baraja.
Al comenzar el juego, buscamos el As de corazones por que es la carta de la suerte para el Amor.
El espectador corta y colocamos el As encima para que se pierda en el corte (el As quedará sobre el 9, de modo que al completar el corte todos los corazones quedarán así
K(vuelta) – 7 – 4 – 8 –As - 9 – 5 – 10 – 3 – J – 6 – Q – 2
A continuación se corta varias veces para que la carta quede perdida en la baraja.
Cuando ya hemos dado la carta por perdida, abrimos la baraja con las cartas tapadas, y nos sorprendemos de que haya una carta vuelta, ponemos cualquier disculpa y la separamos del mazo, aprovechando para poner todas las cartas que estaban debajo de la K, encima del mazo.
A continuación el espectador saca de la baraja una a una, poniéndolas sobre la mesa, 12 cartas.
Recoge las 12 cartas y las vuelve a colocar encima de la mesa del siguiente modo: La carta de arriba pasa abajo y la siguiente la pone sobre la mesa, repite este proceso hasta que se queda con una carta en la mano, esa será el AS de corazones, significa suerte en amores para el próximo año, pero además si continuamos levantando las cartas de la mesa veremos que son, el 2, 3, 4, ... de corazones, perfectamente ordenados, lo cuál significa MUCHA SUERTE en los próximos meses
En el siguiente juego interviene además del orden, el “número mágico” 142857, puede ser interesante estudiar las propiedades de este números de otros números cíclicos.


12.- NÚMERO MÁGICO
Efecto
Buscamos un número escogiendo las 6 primeras cartas de oros que aparezcan, tra haber mezclado la baraja.
Ese número lo multiplicamos por el resultado del lanzamiento de un dado (1 a 6)
A continuación, nos quitamos una pulsera que tenemos puesta desde antes de comenzar el juego y ... es el mismo número que nos ha salido en la multiplicación.

Modo de hacerlo:

Es un truco basado en el número 142857, que es un número cíclico.

En primer lugar debemos tener una baraja preparada, de modo que en la parte final del mazo se encuentre, de abajo arriba, los oros 1, 4, 2, 8, 5, y 7. A continuación irán el resto de los oros.
Pediremos a alguien del publico que haga una mezcla americana (la cual no cambia el orden de los oros, las alterna en otros lugares, pero sin cambiar el orden) si la mezcla se ha hecho bien, puede hacerse una segunda mezcla, pues los oros habrán quedado en la parte de abajo de la baraja.
A continuación, buscamos los seis primeros oros que aparezcan (con las cartas boca arriba) y escribimos el número que tiene que ser el 142857.

Lanzamos un dado (puede ser virtual) al aire y multiplicamos por el resultado obtenido.
Todas las multiplicaciones van a tener los mismos números:

142857 x 1 =142857
142857 x 2 =285714
142857 x 3 =428571
142857 x 4 =571428
142857 x 5 =714285
142857 x 6 =857142


A continuación, cortamos una pulsera que habremos preparado con esos números y que tenemos puesta desde antes de empezar el juego. Por dentro estarán los números y por fuera hay que tener alguna marca para saber por dónde cortar, dependiendo de la multiplicación que se haya hecho.

Con menos de cien cifras, los únicos números cíclicos son los períodos de las expresiones decimales de los números 1/7, 1/17, 1/19, 1/23, 1/29, 1/47, 1/57, 1/61, 1/97 .